Ich würde an deiner Stelle erst einmal gegen die Abmahnung Einspruch einlegen. Denn sofern im Arbeitsvertrag nicht explizit geregelt ist, dass du die Internetleitung zu stellen hast, ist dies ein Arbeitsmittel und der Arbeitgeber hat sich darum zu kümmern (wie auch der Arbeitgeber für die anderen Arbeitsmittel wie z.B. das Notebook zu sorgen hat). Ausnahme wäre nur dann gegeben, wenn du freiwillig in's HomeOffice gehst, obwohl du im Büro arbeiten könntest und dürftest - in dem Fall wärest wieder du für die Funktionalität der Leitung zuständig. Aber dann könntest du auch einfach in's Büro fahren.
Sollte eine Kündigung deshalb erfolgen, kann ich dir nur dringend empfehlen, anwaltlichen Rat einzuholen - denn nur weil der Chef meint, dass das deine Angelegenheit sei, heißt das noch längst nicht, dass es auch wirlich so ist.
Und wie gesagt - wenn du wirklich arbeitsvertraglich verpflichtet bist, dich selbst um die Leitung zu kümmern, dann hättest du dich schon längst um Ausfallszenarien und Alternativen kümmern können und müssen.
Noch was: Nur weil Vodafone das Signal liefert, heißt das nicht, dass Vodafone auch der Netzbetreiber ist. Es gibt durchaus auch lokale Kabelanbieter, denen zwar die Kabel gehören, die dann aber 1:1 das Signal von Vodafone durchleiten, weil es günstiger für sie ist, als sich selbst um die Signalaufbereitung und -anbindung an das Internet zu kümmern.
